Скачать сам учебник:
Петерсон Л.Г. Математика. C 1-го по 4-й класс.
Решебник по математике 3 класс Петерсон 3 часть:
1 урок
...12. По двору ходили гуси. Всего у них было 22 ноги. Подошли 3 утёнка и 4 козлёнка. Сколько ног гуляет теперь по двору?
Первой моей мыслью была «разве у гусей есть ноги?» Второй: «а у утят и козлят?» Честнее всего сказать, что НИ одной ноги по двору не гуляет (если только 11 человек гусей не пасут). Но поскольку эта задача из учебника Петерсон, и мы уже знаем, насколько неадекватными бывают её творения (кто не знает, смотрите ЗДЕСЬ и вот ТУТ), то решение нам пришлось делать (чисто математическое).
Было 22 ноги гусей, добавились 3 утёнка х 2 ноги, а также 4 козлёнка х 4 ноги.
22 + 3 х 2 + 4 х 4 = 44 ноги.
Ответ: 44 ноги (это при условии, что никто со двора из птиц и животных не ушёл).
...
2 урок
...14. а) Сколько полных недель в високосном году? Сколько ещё остаётся дней? А в простом году?
Так как в високосном году всегда 366 дней, а дней в неделе – 7, значит 366 дней делим на 7 дней, получаем число полных недель в високосном году равным 52, и при этом ещё остаётся 2 дня (остаток при делении).
366 / 7 = 52 (ост. 2).
Так как в не високосном году всегда 365 дней, а дней в неделе по-прежнему 7, значит 365 дней делим на 7 дней, получаем число полных недель в не високосном году равным 52, и при этом ещё остаётся 1 день (остаток при делении).
365 / 7=52 (ост. 1).
14. б) В году 365 дней, из них 53 вторника. Какой день недели был 1 января этого года?
Если не брать в расчёт подвохов Петерсон, по календарю определяем, что 1 января 2011 года было субботой, а 1 января 2012 года – воскресеньем. Но, как нам уже известно, простоты у составителя учебника не бывает. Поэтому мы рассуждали так: как уже определено – недель в не високосном году – 52, а вторников по условию данной задачи – 53. Значит, искомый год начался со вторника и закончился вторником. А следующий год начался со среды.
Для точности сведений мы даже календарь нарисовали.
14. в) 1 января 2009 года было четвергом. Каким днём недели будет 1 января 2010 года, 1 января 2011 года, 1 января 2012 года?
Здесь всё просто. Поскольку 1 января 2009 года было четвергом, а 2009 год – годом не високосным, значит, закончится этот год также четвергом, а 1 января 2010 года, соответственно, будет пятницей.
2010 год не является високосным годом, начинается в пятницу, и заканчивается, соответственно, также в пятницу, поэтому 1 января 2011 года – это суббота.
Подобным образом размышляем и о 2011 годе, что приведёт нас к следующему ответу – 1 января 2012 года – это воскресенье.
Или можно и так рассуждать: 2009, 2010, 2011 годы – не високосные, значит:
365 дн. / 7 дн. =52 нед. (ост. 1 день).
Если 1 января 2009 года было четвергом, то 1 января 2010 года будет пятницей, поскольку пройдёт 1 день после четверга (остаток же единица). И так далее по приведённой схеме.
...
3 урок
...16. В семи кружках расставлены числа от 1 до 7 так, что сумма четырёх чисел, расположенных в вершинах каждого четырёхугольника, составляет 13. Расставь эти же числа так, чтобы сумма четырёх чисел в вершине каждого четырёхугольника была равна 14, 15, 16, 17.
Посмотрим на фото. Из него видно, что:
6 + 4 + 2 + 1 = 13
7 + 3 + 2 + 1 = 13
5 + 4 + 3 + 1 = 13
Заметьте, что число 1 встречается во всех трёх равенствах, а на фото оно стоит в центре.
Попробуем представить число 14 в виде суммы 4-х слагаемых тоже тремя способами:
7 + 2 + 1 + 4 = 14
5 + 3 + 2 + 4 = 14
6 + 3 + 1 + 4 = 14
Теперь число 4 встречается нам во всех этих трёх равенствах. Поэтому мы ставим число 4 в центр вместо числа 1.
Далее мы представляем число 15 в виде суммы 4-х слагаемых:
6 + 4 + 2 + 3 = 15
7 + 4 + 1 + 3 = 15
6 + 5 + 1 + 3 = 15
7 + 5 + 2 + 1 = 15
Обратите внимание, что в трёх равенствах постоянным является число 3, поэтому последнее 4-ое равенство мы отбрасываем, в центр ставим число 3, и размещаем остальные числа, соответственно, их местам (смотреть фото).
Дальше у нас на очереди число 16:
7 + 2 + 1 + 6 = 16
5 + 3 + 2 + 6 = 16
5 + 4 + 1 + 6 = 16
Значит, в центре число 6.
А вот и до числа 17 добрались:
6 + 4 + 2 + 5 = 17
7 + 4 + 1 + 5 = 17
7 + 3 + 2 + 5 = 17
Значит, в центре число 5.
...
4 урок
...5 урок
...6 урок
...8. Длина коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равна 30 см, а ширина – 20 см.
Чему равна высота коробки, если её объём равен 7200 куб.см?
Поскольку объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению значений длины, высоты и ширины, значит, высота в данном случае равна:
7200 куб.см / (30 см х 20 см) = 12 см.
Какую площадь и какой периметр имеет дно коробки?
Так как дно коробки у нас не что иное, как прямоугольник, значит, площадь дна коробки равна:
30 см х 20 см = 600 кв.см,
А периметр дна коробки равен:
(30 см + 20 см) х 2 = 100 см.
Коробку надо перевязать лентой, как показано на рисунке. Какой длины должна быть эта лента, если на узел и бант надо дополнительно предусмотреть 26 см?
Обратите внимание, что в данном прямоугольном параллелепипеде длины – 2, ширины – 2, а высоты – 4, да ещё и запас ленты 26 см. Поэтому:
(30 см х 2) + (20 см х 2) + (12 см х 4) + 26 см = 174 см
Такой длины должна быть лента.
...
12. Назови число, предшествующее самому маленькому 15-значному числу.
Самым маленьким 15-значным числом является:
100 000 000 000 000 (100 триллионов).
А предшествующим ему числом:
99 999 999 999 999 (99 триллионов 999 миллиардов 999 миллионов 999 тысяч 999).
...
7 урок
...16) Найди закономерность, по которой расставлены цифры в таблицах, и вставь пропущенное число.
3 5 7 9
9 25 49 81
Нужно обратить внимание на то, что в данной таблице числа во второй строке образуются при умножении чисел из первой строки на самих себя.
4 6 8 10
15 35 63 99
В данной таблице пропущено число 99, поскольку числа во второй строке получаются умножением чисел из первой строки на самих себя, а затем ещё и вычитанием 1.
2 3 4 5
5 10 17 26
В данной таблице пропущено число 26, так как числа во второй строке получаются умножением чисел из первой строки на самих себя, а затем ещё и прибавлением 1.
...
8 урок
...14. В третьем классе учатся 25 учеников. Им было предложено заниматься в 2 кружках: по математике и по природоведению. В каждый кружок записалось по 16 человек, причём 10 человек решили заниматься одновременно математикой и природоведением. Получив результаты, ребята удивились: «Можно подумать, что у нас в классе не 25 учеников, а все 42». Но один любитель математики сказал: «Вовсе нет! У нас есть несколько ребят, которые не хотят заниматься ни в одном из кружков. Я даже могу сказать, сколько их». Как он это узнал?
Поскольку эта задача замечательно решается при помощи диаграмм Эйлера – Венна, мы и будем использовать их (рисунок приводить не стану, и так всё будет понятно из решения).
Нам известно, что 10 человек занимаются одновременно в обоих кружках, а в каждом кружке по 16 человек. Находим, сколько учеников занимается только математикой и только природоведением:
16 – 10 = 6 учен. – занимаются только математикой.
16 – 10 = 6 учен. – занимаются только природоведением.
10 + 6 + 6 = 22 учен. – всего учеников, которые записались в оба кружка.
25 – 22 = 3 учен. – столько учеников не записалось ни в один из предложенных кружков.
...
9 урок
...15. Расположи 9 элементов в 3 множествах так, чтобы в одном из них было 2 элемента, а в другом – 5 элементов, а в третьем – 7 элементов. Сколько различных решений этой задачи ты сможешь найти?
С решением данной задачи мне и вам помог Андрей, предложивший свою помощь в комментариях к данному посту. Благодарю Андрея за проделанную работу!
Привожу его решение здесь полностью.“Для зацепки начнём с рассмотрения того кружка, в котором должно быть всего две точки. Выберем для этого на моих картинках левый верхний круг (варианты, полученные поворотами картинки, рассматривать не будем и ограничимся теми, где 2 точки находятся в этом круге). Не мудрствуя лукаво, переберём все варианты размещения в нем двух точек.
Вот такие варианты начальных условий мы получим:
Теперь для каждого из начальных условий с этой картинки существуют только два варианта решения:
А) добавить 7 точек так, чтобы в левом нижнем круге их стало 7 и в правом круге 5 ;
Б) наоборот, в левом нижнем 5 и в правом 7.
Поскольку добавлять в левый верхний круг точки больше нельзя, мы распределяем их по трём участкам : в двух внешних секторах кругов и в их пересечении. Условия «7 и 5» или «5 и 7» однозначно определяют количество точек во всех трёх областях..
Вот такие 20 вариантов ответов мы получим в итоге:
Кстати, половина из них являются симметричными отражениями другой половины. Если исключить такие симметричные варианты, то «независимых» решений останется всего 10:
Ну, а с поворотами можно, наоборот, из 20 вариантов сделать 60″.
...
10 урок
...12. В вазе лежат персик, ананас и банан. Сколько существует различных последовательностей, которыми можно взять из вазы эти фрукты?
Сами мы данную задачу ещё не решали, но, поговорив с учителем, пришли к такому решению. Фрукты из вазы можно взять 16 способами (используем правило перебора – мы проходили его в 1 классе):
1 – ананас
2 – персик
3 – банан
Первая тройка – это, если разрешено взять из вазы только 1 фрукт.
4 – (ананас и персик) или 7 – (персик и ананас)
5 – (ананас и банан) или 8 – (банан и ананас)
6 – (банан и персик) или 9 – (персик и банан)
Ещё 6 вариантов – это, если разрешено брать из вазы только 2 фрукта.
10 – ананас, банан и персик
11 – персик, ананас и банан
12 – банан, ананас и персик
13 – персик, банан и ананас
14 – ананас, персик и банан
15 – банан, персик и ананас
Данные 6 вариантов – это, если брать из вазы сразу 2 фрукта, а третий после.
16 – все 3 фрукта брать сразу.
Но, поискав в сети, мне удалось обнаружить следующее:
«Это комбинаторная задача на нахождение числа способов. Способы выбора данных фруктов зависят от порядка предпочтения. Из правила перебора, которое позволит не упустить из виду ни один из способов, следует: если взять первые буквы от названий фруктов, то способы перебора можно записать так: ПАБ, ПБА, АПБ, АБП, БАП, БПА. Порядок перебора следующий: каждый из фруктов должен занять первое место в тройках дважды, два других фрукта записываются в любом порядке, а в следующей тройке меняются местами.
Мы рассмотрели случай, когда фрукты берут по одному. Если можно брать 2 фрукта, тогда возможны такие способы: ПА и Б, Б и ПА, ПБ и А, А и ПБ, АБ и П, П и АБ. И еще один способ, если можно взять сразу 3 фрукта из вазы. Таким образом, мы нашли 6 + 6 + 1 = 13 способов».
...
11 урок
...15. Записано подряд семь семёрок. Придумай различные способы такой расстановки скобок и знаков арифметических действий, чтобы значение полученного выражения равнялось семи. Какие ещё значения выражений могут при этом получаться? Как ты думаешь, при какой расстановке знаков действий и скобок значение полученного выражения будет наибольшим?
777 : 777 х 7 = 7
7 + 7 – 7 + 7 – 7 + 7 – 7 = 7
(77 – 7) : (77 – 7) х 7 = 7
77 : 7 – (7 + 7) : 7 + 7 = 16
(7 + 7) х 7 + 7 х (7 + 77) = 686
Вообще, наибольшее число с использованием знака умножения и семерок должно получиться следующим:
7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 823 543.
Но можно и просто записать наибольшее число. Такое, как 7 777 777.
Или можно также получить число 777 777 x 7= 5 444 439.
Или такое число 7777 x 777 = 6 042 729.
Или такое 77777 x 77 = 5 988 829.
По моему скромному мнению, задача сформулирована неточно. Лучше было бы изложить условие так: записано подряд семь семёрок. Между числами надо поставить знаки арифметических действий и скобки. Согласитесь, если условие будет выглядеть именно так, то и числа будет нельзя объединить между собой, и задачу можно будет решить без проблем.
...
12 урок
...14. Найди площадь поверхности куба, объём которого равен 8 куб.см.
Поскольку объём куба равен 8 куб.см, значит, он имеет ребро, равное 2 см, то есть:
2 см х 2 см х 2 см = 8 куб.см
Найдём площадь одной грани:
2 х 2 = 4 кв.см
А так как граней в кубе всего 6, значит:
4 х 6 = 24 кв.см – площадь поверхности куба.
...
13 урок
...11. В одной книге указан такой год издания: MDCCXLIX. Когда издана эта книга?
Если Вы, как и мы, откроете данный учебник часть I, то на странице 56 найдёте таблицу с римскими цифрами, которые употреблялись в Древнем Риме 2,5 тыс. лет назад. Из этой таблицы следует, что:
M = 1000
D = 500
C = 100
X = 10
L = 50
I = 1
Значит:
1000 + 500 + 100 + 100 + (50 – 10) + (10 – 1) = 1749 год.
Книга издана в 1749 году.
...
14 урок
...11. Летела стая гусей, а навстречу им гусак. «Здравствуйте, 20 гусей!» «Нет, нас не 20. Если б нас было в 2 раза больше, да ещё 3 гуся, да ещё ты с нами, тогда нас было бы 20. Сколько было гусей?
Попробуем действовать с «конца»:
20 – 1 – 3 = 16
16 : 2 = 8
Проверяем: 8 х 2 + 3 + 1 = 20.
Гусей сначала было 8.
12. Сколько квадратов ты видишь на рисунке?
Маленьких квадратиков на рисунке 7 x 2 = 14.
Квадратов, состоящих из четырёх квадратиков 6.
Всего получается 14 + 6 = 20 квадратов.
...
15 урок
...16 урок
...17 урок
...10. Запиши множество трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 9 и которые не изменяются при чтении их слева направо и справа налево. Представь полученные числа в виде суммы разрядных слагаемых.
Трёхзначные числа, которые мы можем читать слева направо и справа налево одинаково – это:
1_1, 2_2, 3_3, 4_4.
Теперь можно найти среднюю цифру, вычитая из 9 сумму двух уже известных нам цифр:
9 – 1 – 1 = 7
9 – 2 – 2 = 5
9 – 3 – 3 = 3
9 – 4 – 4 = 1
Ответ: 171, 252, 333, 414.
11. На рисунке все фигуры, кроме одной, имеют общее свойство. Какая фигура “лишняя”?
Если внимательно рассмотреть рисунок, то можно заметить, что все фигуры, кроме фигуры Е имеют две оси симметрии, то есть данные фигуры можно сложить пополам двумя способами. Или, если говорить другими словами: фигура Е не переходит сама в себя при вращении вокруг точки пересечения.
...
18 урок
...9. К берегу реки подошли 3 людоеда. У каждого из них по одному слуге. В присутствии хозяина его слугу никто не трогает, а в отсутствие хозяина его слугу съедают другие людоеды. Всем им надо перебраться на другой берег в двухместной лодке. Как это сделать, чтобы никто никого не съел?
Здесь потребуется долгое объяснение. Представим Людоедов в виде римских цифр:
1 людоед – I
2 людоед – II
3 людоед – III
А слуг людоедов запишем буквами:
Слуга 1 людоеда – А
Слуга 2 людоеда – Б
Слуга 3 людоеда – В
А теперь само решение:
Сначала в лодку садятся А и Б и переправляются на другой берег.
Назад возвращается Б.
В лодку садятся Б и В и переправляются на другой берег.
Назад возвращается А.
В лодку садятся II и III и переправляются на другой берег.
Назад возвращаются II и Б.
В лодку садятся I и II и переправляются на другой берег.
Назад возвращается В.
В лодку садятся А и Б и переправляются на другой берег.
Назад возвращается Б.
В лодку садятся Б и В и переправляются на другой берег.
Если честно, мы пробовали всячески переправлять людоедов и их слуг, рисовали схему, затем рисунок. В итоге пришли к такому решению, которое я представляю сегодня Вам.
...
19 урок
...2. Расстояние между Москвой и Минском 720 км. Сколько времени потребуется, чтобы проехать на автомобиле из Москвы в Минск и возвратиться обратно, если скорость движения автомобиля из Москвы в Минск равна 80 км/ч, а в противоположном направлении – на 10 км/ч больше?
Записываем в таблицу известные нам величины.
Строка «в Минск»:
S = 720 км
U = 80 км/ч
t = ? ч
Строка «в Москву»:
S = 720 км
U = ? км/ч, на 10 км/ч больше
t = ? ч
Сначала находим, сколько потребуется времени на дорогу в Минск:
720 : 80 = 9 ч
Затем узнаём скорость автомобиля на обратном пути::
80 + 10 = 90 км/ч
Теперь рассчитаем время на дорогу в Москву:
720 : 90 = 8 ч
И, наконец, узнаём, сколько времени займёт поездка туда и обратно:
9 + 8 = 17 ч
...
5. а) Магазин продал за день 16 одинаковых банок вишнёвого варенья и 20 таких же банок малинового, причём малинового варенья было продано на 8 кг больше, чем вишнёвого. Сколько килограммов варенья каждого сорта было продано за день?
Нам нужно найти, сколько же кг любого варенья содержится в каждой банке. Для этого мы находим разность между количеством банок малинового и вишнёвого варенья:
20 б. – 16 б. = 4 банки.
Значит, если малинового варенья продано на 8 кг больше вишнёвого, то можно определить и сколько килограммов в одной банке:
8 кг : 4 б. = 2 кг
Теперь можно узнать, сколько килограммов вишнёвого варенья продано за день:
2 кг х 16 б. = 32 кг,
И сколько килограммов малинового варенья продано за день:
2 кг х 20 б. = 40 кг.
5. б) Магазин продал за день 32 кг вишнёвого варенья и 40 кг малинового в одинаковых банках, причём малинового варенья было продано на 4 банки больше, чем вишнёвого. Сколько килограммов варенья каждого сорта было продано?
В этой задаче явная опечатка, поскольку ответ на вопрос содержится в самом условии.
Думаю, что правильнее было бы спросить: сколько было продано банок варенья каждого сорта?
Тогда мы первым действием находим разность в весе между малиновым вареньем и вишнёвым:
40 кг – 32 кг = 8 кг
Найдём, сколько варенья содержится в одной банке:
8 кг : 4 б. = 2 кг
Теперь найдём, сколько продано банок вишнёвого варенья:
32 кг: 2 кг = 16 б.
А также, сколько продано банок малинового варенья:
40 кг : 2 кг = 20 б.
6. Сумма площадей двух прямоугольников, имеющих одинаковую длину, равна 220 кв.дм. Ширина первого прямоугольника равна 4 дм, а ширина второго прямоугольника на 3 дм больше ширины первого. Чему равна длина прямоугольников?
Ищем ширину второго прямоугольника:
4 дм + 3 дм = 7 дм
Находим сумму ширины первого и ширины второго прямоугольников:
4 дм + 7 дм = 11 дм
Теперь можно найти, чему равна длина прямоугольников:
220 кв.дм : 11 дм = 20 дм
7. Строят 4 восьмиэтажных жилых дома. На каждом этаже каждого из этих домов будет по 9 квартир. Из всех квартир однокомнатных 128, двухкомнатных 96, а остальные трёхкомнатные. Сколько в этих домах трёхкомнатных квартир?
Находим, сколько всего квартир будет в одном восьмиэтажном доме:
9 кв. х 8 эт. = 72 кв.
Ищем, сколько всего квартир будет в 4 – х домах:
72 кв. х 4 д. = 288 кв.
Найдём общее число однокомнатных и двухкомнатных квартир:
128 кв. + 96 кв. = 224 кв.
Теперь легко можно найти, сколько трёхкомнатных квартир в этих домах:
288 кв. – 224 кв. = 64 кв.
...
10. Пусть А – множество кратных числа 12, а В – множество кратных числа 15. Запиши множества А и В с помощью фигурных скобок и найди наименьший их общий элемент. Как можно его назвать?
А = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, …}
В = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, …}
Из написанного следует, что наименьший общий элемент – 60, и называется он – наименьшее общее кратное.
...
20 урок
...12. Математическое исследование. Представь число 16 всеми способами в виде произведения двух множителей. Для каждого способа найди сумму множителей. В каком случае получилась наименьшая сумма? Проделай то же самое с числом 36, затем с числом 64. Какое можно высказать предположение (гипотезу)? Как ты думаешь, можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна для всех чисел, которые представляются в виде произведения равных множителей?
Представляем число 16 в виде произведения двух множителей:
16 = 1 х 16
16 = 2 х 8
16 = 4 х 4
Находим сумму его множителей:
1 + 16 = 17
2 + 8 = 10
4 + 4 = 8
Сравниваем полученные суммы и ясно видим, что наименьшая сумма = 8.
Представляем число 36 в виде произведения двух множителей:
36 = 1 х 36
36 = 2 х 18
36 = 3 х 12
36 = 4 х 9
36 = 6 х 6
Находим сумму его множителей:
1 + 36 = 37
2 + 18 = 20
3 + 12 = 15
4 + 9 = 13
6 + 6 = 12
Сравниваем полученные суммы и ясно видим, что наименьшая сумма = 12.
Представляем число 64 в виде произведения двух множителей:
64 = 1 x 64
64 = 2 х 32
64 = 4 х 16
64 = 8 x 8
Находим сумму его множителей:
1 + 64 = 65
2 + 32 = 34
4 + 16 = 20
8 + 8 = 16
Сравниваем полученные суммы и ясно видим, что наименьшая сумма = 16.
С гипотезой возникло затруднение. Пришлось обращаться к знающим товарищам. И вот что они мне сказали: «если число представлять в виде произведения двух множителей, то сумма этих множителей будет наименьшей лишь в том случае, когда они (множители) равны. А если основываться на эти три примера, то нельзя наверняка сказать, что данная гипотеза верна для всех чисел.
...
21 урок
...14. Расположи 3 элемента на диаграммах множеств А, В и С так, чтобы в каждом из этих множеств было соответственно:
а) по 3 элемента;
б) по 2 элемента;
в) по 1 элементу;
г) 1, 2 и 3 элемента;
д) 1, 3 и 3 элемента;
е) 0, 2 и 3 элемента.
И снова нас с вами выручает Андрей. Его вариант решения данной задачи наглядно отражает следующий рисунок:
Хрень
ОтветитьУдалить