Математика 4 класс 1 часть Петерсон

Решебник заимствован отсюда. Нумерация задач там не совпадает с нумерацией задач в учебнике, здесь я нумерацию привёл в соответствие с учебником и сделал разбиение по урокам.

Скачать сам учебник:
Петерсон Л.Г. Математика. C 1-го по 4-й класс.

Задачи по математике 4 класс Петерсон 1 часть и их решение:

1 урок

...
6. Найди два решения неравенства:
А) r + 5 < 815. Подставляйте любое число от 0 до 809, будет вам решение неравенства.
Пример: r = 1 или r = 809.
Б) n – 3 > 960. В данном случае решением будет являться любое число, которое больше числа 964.
Пример: n = 972 или n = 999.
В) 43 х m < 100. Решением данного неравенства могут быть 3 числа, выбирайте из них понравившиеся два: m = 0 или m = 1 или m = 2.
Г) 180 : y > 20. У этого неравенства решений шесть: y = 1 или y = 2 или y = 3 или y = 4 или y = 5 или y = 6. Выбирайте нужные вам два решения.
…
9. Туристы прошли 14 км и сделали привал. После привала они прошли на 6 км меньше, чем до привала, и остановились на ночлег. Им предстояло пройти ещё в 3 раза больше, чем они прошли. Какой длины путь был ими намечен?
Найдём сначала, сколько километров туристы прошли после привала в первый день: 14 – 6 = 8 км.
Потом определим, сколько километров нужно пройти туристам до окончания их пути: (14 +8)х 3 = 66 км.
Теперь можно найти всю длину пути туристов, который был ими намечен: 14 + 8 + 66 = 88 км.
…
11. Автомобиль за 3 дня проехал 980 км. В пятницу и субботу он проехал 725 км. Сколько километров проезжал автомобиль в каждый из этих дней, если в субботу он проехал больше, чем в воскресенье, на 123 км?
Нам известно, что всего автомобиль проехал 980 км, а за 2 дня – 725 км. Найдём, сколько километров проехал автомобиль в воскресенье: 980 – 725 = 255 км.
Теперь находим, сколько километров автомобиль проехал в субботу: 255 + 123 = 378 км.
Ищем, сколько километров автомобиль преодолел в пятницу: 725 – 378 = 347 км.
…
12. Числа записаны в таблице в определённой закономерности. Установи её и впиши в свободные клетки нужные числа.
Поскольку фото таблицы у меня нет, буду писать числа с промежутками, и объяснять параллельно.
6 – 31
7 – 28 или 29
4 – 31
6 – 30
3 – 31
Очень знакомые цифры, не так ли?! 28, 29, 30, 31 дней встречаются в календарных месяцах. Значит, в верхней строке таблицы размещено количество букв в их названиях: 6 – январь – 31 день, 7 – февраль – 28 или 29 дней и т.д. Поэтому продолжением таблицы станут такие числа:
4 – 30 (4 – июнь – 30 дней)
4 – 31 (4 – июль – 31 день)
6 – 31 (6 – август – 31 день)
8 – 30 (8 – сентябрь – 30 дней)
…
13. Верны ли высказывания?
А) Два часа больше семи тысяч секунд. В двух часах 2 х 60 х 60 = 7200 секунд, а 7200 > 7000. Верное высказывание.
Б) В двух квадратных дециметрах содержится 200 сантиметров. Как известно, в «квадратных» единицах мы измеряем площадь и, соответственно, квадратные дециметры мы можем перевести лишь в квадратные сантиметры. Неверное высказывание.
В) Пять гирь по 3 кг тяжелее трёх гирь по 5 кг. Что 5 х 3 кг, что 3 х 5 кг, ответ одинаков – это 15 кг, то есть вес одинаков, значит, высказывание неверно.
Г) Число 0 меньше любого натурального числа. Число 0 располагается в числовом ряду левее всех известных нам натуральных чисел и является самым маленьким натуральным числом. А это значит, что данное высказывание верно.
Д) Семью девять – сорок девять. Давайте вспомним не стихосложение и рифмы, а таблицу умножения и цифры 7 х 9 = 63, а не 49. Неверное высказывание.
Е) Число 8 удовлетворяет равенству Х х Х – Х = 56. Тут только подбор и проверка 8 х 8 – 8 = 56. Высказывание верно.

2 урок

...
2. Запиши множество решений неравенства и отметь его на числовом луче. Существует ли в этом множестве наименьший элемент?
А) n < 4
Множество решений запишем так: {0; 1; 2; 3}. Наименьший элемент в нём – это 0.
Б) m < 4
Множество решений запишем так: {5; 6; 7; 8}. Наименьший элемент в нём – это 5.
Как оформить решение на числовом луче, смотрите в правиле к этой теме в учебнике.
...
4. Реши неравенства. Что в них интересного?
y < 2 a < 2 2 < c
Решение неравенства y < 2 выглядит так: {0; 1}
Решение неравенства a < 2 выглядит так: {0; 1}
Решение неравенства 2 < c выглядит так: {0; 1}, причём, что 2 < c, что c < 2.
Что интересного? То, что эти неравенства имеют одинаковое множество их решений, поскольку переменные y, a, c должны быть в данных случаях меньше числа 2.
...
10. Закончи заполнение таблицы и реши задачу:
Машинистка в первый день напечатала 48 страниц рукописи, а во второй день – на 12 страниц больше, чем в первый. На всю работу в эти 2 дня она затратила 9 часов. Сколько часов работала она в каждый из этих дней, если производительность её не менялась?
Решение задачи не сложное, тем более что в таблице есть подсказки. U (скорость) – это и есть производительность.
Ищем сначала, сколько страниц напечатала машинистка во второй день: 48 + 12 = 60 страниц.
Теперь нужно выяснить, сколько страниц она напечатала за 2 дня: 48 + 60 = 108 страниц.
Известно, что времени в эти 2 дня она затратила всего 9 часов, значит, за 1 час она печатает:
108 : 9 = 12 страниц.
В первый день машинистка проработала: 48 : 12 = 4 часа, а во второй день: 60 : 12 = 5 часов (или записать можно так: (9 ч – 4 ч = 5 ч).
...
12. Реши задачи. Что в них общего и чем они отличаются?
1) С двух ульев получено 100 кг мёду, с одного из них на 4 кг больше, чем с другого. Сколько мёда получено с каждого улья?
Если за «Х» примем количество мёда в одном улье, значит, во втором будет «Х + 4» кг мёда. Составим уравнение и найдём, сколько килограмм мёда собрали с одного улья.
Х + (Х + 4) = 100
2Х + 4 = 100
2Х = 100 – 4
2Х = 96 (это, кстати, равные части мёда в обоих ульях)
Х = 96 : 2
Х = 48 кг
Далее ищем, сколько килограммов мёда получили со второго улья.
48 + 4 = 52 кг
2) В двух мешках 100 кг картофеля, в одном из них на 4 кг меньше, чем в другом. Сколько картофеля в каждом мешке?
Эту задачу мы станем решать иным способом. Мы сразу найдём равные части картофеля
100 – 4 = 96 кг
Затем определим, сколько килограмм картофеля находится в одном из мешков (пусть это будет первый мешок)
96 : 2 = 48 кг
Далее находим, сколько килограмм картофеля в другом мешке
48 + 4 = 52 кг.
...
14. Чтобы открылись ворота в сказочный город Числоград, ребятам надо было на табло при въезде зажечь числа в свободных клетках так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трёх соседних клетках, равнялась 20. Помоги ребятам попасть в этот город!
Я долго ломала голову, как же записать так, чтобы было понятно, и решила дополнить приведённую в учебнике таблицу буквенными значениями:
X Y Z X Y Z X Y Z X (верхняя строчка)
X = 8
Z = 5
Если записать сумму чисел трёх соседних клеток в виде букв, то получится вот что: X + Y + Z = 20. Нам известно, что X = 8, а Z = 5.
Значит,
8 + Y + 5 = 20
Y + 13 = 20
Y = 20 – 13
Y = 7
Получим такой вид табло на въезде в Числоград:
8 ; 7; 5; 8; 7; 5; 8; 7; 5; 8

3 урок

1. Маленький Артём заплакал. Чтобы его успокоить, Таня сказала: «Я дам тебе конфету или печенье». Саша сказал: «Я дам тебе конфету и печенье». Чем отличаются их высказывания?
Таня и Саша дали Артёму только по конфете. Кто из них выполнил своё обещание?
Фразу, которую произнесла Таня, можно разбить на две фразы: «Я дам тебе конфету» и «Я дам тебе печенье». Но удовлетвориться может лишь одно высказывание, поскольку прозвучало «или».
Фразу Саши тоже можно разбить на две: «Я дам тебе конфету» и «Я дам тебе печенье». Причём удовлетвориться должны оба высказывания, поскольку прозвучало «и».
Но обещание выполнила только Таня, потому что она обещала дать Артёму ИЛИ то, ИЛИ другое (дала конфету). А вот Саша своё обещание не сдержал, так как обещал дать И то, И другое, а дал лишь конфету.
...
2. Прочитай неравенства. Из каких высказываний они состоят? Какие из них верны, а какие – нет?
5 <= 16. Пять меньше либо равно шестнадцати (можно дальше я не буду «произносить» неравенства). Состоит из 2-х высказываний: 5 < 16 и 5 = 16. Поскольку одно из них верно (5 < 16), значит, верно и всё высказывание.
Аналогично объясняются все остальные неравенства, кстати, состоящие также из 2-х высказываний.
180 >= 7. Верно.
29 < = 14. Неверно.
12 <= 12. Верно.
25 >= 25. Верно.
99 >= 100. Неверно.
36 < = 110. Верно.
94 >= 49. Верно.
805 < = 508. Неверно.
...
9. Верны ли высказывания?
Некоторые решения неравенства Х >= 5 являются однозначными числами.
Верно, поскольку множество решений {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11;….} включает в себя однозначные числа: 5, 6, 7, 8, 9.
Все решения неравенства Х >= 5 являются однозначными числами.
Неверно, поскольку множество решений {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11;….} включает в себя и двузначные, и трёхзначные, и четырёхзначные числа и т.д.
…
13. Реши задачу по действиям с вопросами:
Ширина прямоугольного участка земли равна 25 м, а длина на 15 м больше. Как и на сколько изменится площадь участка, если его ширину увеличить на 7 м, а длину уменьшить на 5?
Находим длину участка:
25 + 15 = 40 м
Находим площадь участка:
25 х 40 = 1000 кв. м
Рассчитываем ширину после увеличения:
25 + 7 = 32 м
Рассчитываем длину после уменьшения:
40 – 5 = 35 м
Находим площадь изменившегося участка:
32 х 35 = 1120 кв. м
Находим, на сколько изменилась (увеличилась) площадь участка:
1120 – 1000 = 120 кв. м

4 урок

...
4. Можно ли заменить данные неравенства двойным неравенством? Если да, то запиши подходящее двойное неравенство.
А) 2 < y и y < 6
2 < y < 6
Б) y > 2 и y < 6
2 < y < 6
В) 2 < y и z < 6
Неравенства быть не может, поскольку переменные различны.
Г) y < 2 и y < 6
Было бы логично записать двойное неравенство так:
6 < y < 2
НО! По объяснению учителя следует, что множество решений для неравенства y < 2 – это {0; 1}, а для неравенства y < 6 – это {0; 1; 2; 3; 4; 5}. А, значит, общее множество решений этих двух неравенств такое: {0; 1; 2}. Следовательно, двойное неравенство должно выглядеть так:
0 <= y <2
...
7. Напиши двойные неравенства, множество решений которых совпадает с множеством чисел, отмеченных на луче.
Это задание я не решала сама, ребёнок записал ответы по объяснению учителя:
1 < a < 6
1 < b <= 5
2 <= c < 6
2 <= d <= 5
...
8. Запиши выражения, значение которых равно 32.
640 : 10 : 4 х 2 = 32
78 х 3 – (948 – 746) = 32
(96 – 92) х (64 :8)= 32
Интересно, а эти тоже подойдут?
4 х 8 = 32
18 + 14 = 32
100 – 68 = 32
Есть ещё выражения, как считаете?
...
10. Заполни пропуски:
217 х 6 320 = 1 371 440
37 050 х 809 = 29 973 450
540 180 : 6 = 90 030
Результат написала, а оформление столбиком, будьте любезны, сделать сами.
...
14. Найди множество решений неравенства 2 < y < 5. Запиши другие неравенства, имеющие то же самое множество решений.
{3; 4} – множество решений данного неравенства.
Другие неравенства:
2 < y <= 4
3 <= y < 5
3 <= y <= 4
...
15. Сколько различных произведений, кратных 10, можно образовать из множителей 2, 3, 5, 7, 9 (каждый множитель можно использовать только один раз, порядок множителей не принимается во внимание)?
Таких произведений у нас получилось 8. Проверяем.
2 х 5
3 х 2 х 5
3 х 2 х 5 х 7
3 х 2 х 5 х 9
3 х 2 х 5 х 7 х 9
7 х 2 х 5
7 х 2 х 5 х 9
9 х 2 х 5

5 урок

...
3. Запиши все двойные неравенства, имеющие множество решений {8; 9; 10}:
7 < y < 11
7 < y <= 10
8 <= y < 11
8 <= y <= 10
...
7. Запиши выражения, значения которых равно 120.
1 000 – 4 400 : 5 = 120
(350 + 250) : 5 = 120
24 х 1 000 : 200 = 120
Что ещё можете предложить?
...
13. Сколько ударов за сутки сделают часы, если они отбивают целое число часов, да ещё одним ударом отмечают середину каждого часа?
Поскольку часов в сутках 24, а чисел, их обозначающих, всего 12, целое число часов – это:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) х 2 = 156 ударов.
Середина каждого часа отмечается одним ударом, значит, добавляем ещё 24 удара (по количеству часов в сутках):
156 + 24 = 180 ударов.
...
14. Запиши множество многоугольников, изображённых на рисунке:
А) содержащих угол В;
Б) не содержащих угол Е;
В) одной из сторон которых является сторона АС.
Ответ:
А) {АВС; АВСD; АВСDE}
Б) {АВС; АСD; АВСD}
В) {АВС; АСD; АСDE}
...
16. Собрался Иван – царевич на бой со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. «Вот тебе меч – кладенец, - говорит ему Баба – Яга. – Одним ударом ты можешь срубить Змею либо 1 голову, либо 2 головы, либо 1 хвост, либо 2 хвоста. Запомни: срубишь голову – новая вырастет, срубишь хвост – 2 новых вырастут, срубишь 2 хвоста – голова вырастет, срубишь 2 головы – ничего не вырастет». Сможет ли Иван – царевич срубить Змею все головы и все хвосты за 9 ударов? Обоснуй свой ответ.
Не буду мучить вас пространственными объяснениями, изложу текстовую схему.
Сначала Иван – царевич рубит Змею 2 головы (ничего не вырастает).
Затем отрубает 1 хвост (по условию задачи вырастает ещё 2 хвоста).
Иван рубит эти 2 хвоста (отрастает 1 голова).
Рубит Иван 2 головы (1 голову, которая осталась после 1 удара, и 1 голову, которая только что отросла) (ничего не вырастает у Змея).
Иван рубит 1 хвост (отрастает 2 хвоста).
Снова рубит 1 хвост (отрастает 2 хвоста, в итоге их стало 4).
2 хвоста Иван – царевич рубит (получает 1 новую голову у Змея).
Рубит ещё 2 хвоста (получает ещё 1 голову).
Срубает 2 головы Иван и… по условию задачи ничего не вырастает.
Подсчитываем количество ударов Ивана. Получается 9? Значит, может.

6 урок

1. Как изменяется сумма, если слагаемые увеличиваются? А если слагаемые уменьшаются?
Это просто: слагаемые увеличиваются, соответственно, и сумма увеличивается. А если слагаемые уменьшаются, то и сумма уменьшается.
...
5. От Москвы до Санкт-Петербурга 651 км, а от Москвы до Тбилиси 1965 км. Докажи, что от Санкт-Петербурга до Тбилиси через Москву больше, чем 2500 км, но меньше, чем 2700 км.
Чтобы решить эту задачу, нужно произвести оценку суммы. Находим «круглые» числа, между которыми и будет заключена сумма 651 + 1965. Исходя из правила, приведённого в теме «Оценка суммы», следует, что нужно заменить каждое слагаемое сначала близкими меньшими «круглыми» числами (в данном случае 600 + 1900), а затем близкими большими (в данном случае 700 + 2000).
Запишем выражение:
600 + 1900 < 651 + 1965 < 700 + 2000
2500 < 651 + 1965 < 2700
Расстояние от Санкт-Петербурга до Тбилиси через Москву больше, чем 2500 км, но меньше, чем 2700 км.
...
7. Стриж кормит птенцов 20 раз в день и за один раз приносит 370 мелких насекомых. Сколько насекомых для птенцов должен наловить стриж за лето, если период выкармливания длится 32 дня?
Находим, сколько за 1 день стриж скармливает птенцам насекомых:
370 х 20 = 7400 насек.
Теперь найдём, сколько насекомых стриж должен наловить за период выкармливания:
7400 х 32 = 236800 насек.
...
8. Мотоциклист ехал в первый день 4 часа со скоростью 60 км/ч, во второй день – столько же времени со скоростью 55 км/ч. Всего ему надо проехать 710 км. С какой скоростью он должен ехать дальше, чтобы преодолеть оставшееся расстояние за 5 часов?
В первый день мотоциклист проехал 240 км
60 х 4 = 240 км
Во второй день мотоциклист проехал 220 км
55 х 4 = 220 км
За третий день мотоциклист должен проехать 250 км
710 – (240 + 220) = 250 км
Определяем скорость, с которой должен ехать мотоциклист дальше:
250 : 5 = 50 км/ч
...
16. Вот задача не для робких!
Вычитай, дели и множь,
Плюсы ставь, а также скобки!
Верим, к финишу придёшь!
5 5 5 5 = 3
(5 + 5 + 5) : 5 = 3
5 5 5 5 = 4
(5 х 5 – 5) : 5 = 4
5 5 5 5 = 5
(5 – 5) х 5 + 5 = 5
5 5 5 5 = 6
(5 х 5 + 5) : 5 = 6
5 5 5 5 = 7
(5 + 5) : 5 + 5 = 7
5 5 5 5 = 30
(5 : 5 + 5) х 5 = 30
5 5 5 5 = 50
5 х 5 + 5 х 5 = 50
5 5 5 5 = 120
5 х 5 х 5 – 5 = 120

7 урок

1. Как изменяется разность, если уменьшаемое увеличивается? Уменьшается?
При увеличении уменьшаемого значение разности увеличивается. И, наоборот, при уменьшении уменьшаемого, значение разности уменьшается.
Как изменяется разность, если вычитаемое увеличивается? Уменьшается?
При увеличении вычитаемого, значение разности уменьшается. И, наоборот, при уменьшении вычитаемого, значение разности увеличивается.
...
5. От Москвы до Смоленска 378 км, а от Москвы до Бреста 1037 км. Докажи, пользуясь рисунком, что расстояние от Смоленска до Бреста меньше 800 км.
Следуя правилу из темы «Оценка разности», верхняя граница разности (1037 – 378) – это 1100 – 300, а нам надо определить, что расстояние < 800 км (по условию задачи). Запишем выражение:
1037 – 378 < 1100 – 300
1037 – 378 < 800
Что и требовалось доказать.
...
6. Контейнер с грузом весит 3219 кг, а пустой контейнер – 237 кг. Докажи, что груз весит больше 2900 кг, но меньше, чем 3100 кг.
Дана разность (3219 – 237), оценим её.
3200 – 300 (верхняя граница)
3300 – 200 (нижняя граница)
Запишем выражение:
3200 – 300 < 3219 – 237 < 3300 – 200
2900 < 3219 – 237 < 3100, то есть масса груза больше, чем 2900 кг, но меньше, чем 3100 кг.
...
8. У Кати 98 руб. Что она может купить на эти деньги, если она не планирует покупать одинаковые вещи?
Ручку (26 руб.) и блокнот (15 руб.)
Ручку (26 руб.) и чашку с блюдцем (72 руб.)
Мячик (34 руб.) и ручку (26 руб.)
Мячик (34 руб.) и блокнот (15 руб.)
Мячик (34 руб.), ручку (26 руб.) и блокнот (15 руб.)
Мячик (34 руб.) и зеркало (50 руб.)
Зеркало (50 руб.) и ручку (26 руб.)
Зеркало (50 руб.) и блокнот (15 руб.)
Зеркало (50 руб.), блокнот (15 руб.) и ручку (26 руб.)
Чашку с блюдцем (72 руб.) и блокнот (15 руб.)
Блокнот (15 руб.) и куклу (76 руб.)
Если я что-то пропустила, сообщите мне об этом в комментариях, пожалуйста.
...
14. Из спичек составлено 4 квадрата. Переложи 3 спички так, чтобы получилось 3 таких же квадрата.
Поскольку под рукой у меня спичек не оказалось, фото сделать не получится. Буду палочками рисовать, надеюсь, поймёте.
._ _
I_I_I
I_I_I
Перекладываем 3 спички и получаем 3 квадрата:
..._
_I_I_
I_I I_I

8 урок

1. Как изменяется произведение, если множители увеличиваются? Уменьшаются?
При увеличении множителей и произведение увеличивается. Соответственно, если множители уменьшаются, то и произведение уменьшается.
...
8. Найди пересечение и объединение множеств решений двух неравенств: 3 < Х <= 7 и 5 <= Х <= 9.
Х = {4; 5; 6; 7}
Х = {5; 6; 7; 8; 9}
Х ∩ Х {5; 6; 7} (пересечение множеств)
Х U Х {4; 5; 6; 7; 8; 9} (объединение множеств)
...
9. В поезде Москва – Тольятти 17 вагонов. Из них 6 вагонов плацкартные, а остальные купейные. В каждом плацкартном вагоне 54 места, а в купейном – 36 мест. На этот поезд уже продано 87 билетов в плацкартные вагоны, а в купейные – в 3 раза больше билетов, чем в плацкартные. Поставь разумные вопросы к этому условию и ответь на них.
Вопросы:
Сколько купейных вагонов в поезде Москва – Тольятти?
17 – 6 = 11 ваг.
Сколько мест в плацкартных вагонах?
54 х 6 = 324 м.
Сколько мест в купейных вагонах?
36 х 11 = 396 м.
Сколько осталось продать билетов в плацкартные вагоны?
324 – 87 = 237 бил.
Сколько осталось продать билетов в купейные вагоны?
396 – (87х3) = 135 бил.
Сколько билетов осталось в кассе?
237 + 135 = 372 бил.
На сколько больше осталось в кассе билетов в плацкартные вагоны, чем в купейные?
237 – 135 = 102 бил.
...
10. В записи 1 2 3 4 5 между цифрами поставь знаки действий и скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.
(1х2+3)х4х5=100
...
11. Шёл Кондрат в Ленинград,
А навстречу – двенадцать ребят,
У каждого – по 3 лукошка,
В каждом лукошке – кошка,
У каждой кошки – 12 котят,
У каждого котёнка в зубах по 4 мышонка.
И задумался старый Кондрат:
Сколько мышат и котят
Ребята несут в Ленинград?
Это же Кондрат шёл в Ленинград, а ребята с лукошками, кошками и мышками шли ему навстречу. Значит, никто ни мышат, ни котят не несёт в Ленинград.

9 урок

1. Как изменяется частное, если делимое увеличивается? Уменьшается?
Как изменяется частное, если делитель увеличивается? Уменьшается?
При увеличении делимого, частное тоже увеличивается. При уменьшении делимого, частное тоже уменьшается.
При увеличении делителя, частное уменьшается. Соответственно, при уменьшении делителя, частное увеличивается.
...
8. Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения. Пользуясь ими, упрости выражения:
23 + а + 67; 23 + 67 + а; 90 + а – переместительное свойство сложения – a + b = b + a
42 + b + 34 + 128; (42 + 128) + 34 + b; 204 + b – сочетательное свойство сложения – (a + b) + c = a + (b + c)
15 х с х 4; 15 х 4 х с; 60 х с – переместительное свойство умножения – a х b = b х a
2 х d х 7 х 5 х 5 х 2; (2 х 5) х (2 х 5) х 7 х d = 700 х d – сочетательное свойство умножения – a х(b х c) = (a х b)х c
...
9. Продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность:
А) 15, 16, 18, 21, 25, 30, 36, 43 (разность между соседними числами увеличивается на единицу)
Б) 4, 7, 13, 22, 34, 49, 67, 88 (разность между соседними числами увеличивается на число 3)
...
13. Раздели фигуры на 2 равные части ломаной линией, проходящей по сетке.

А вот и решение (прошу прощения за качество фото):
a

b

c

d

…
14. В семье 4 детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?
Если Таня старше, чем Юра по условию задачи, значит, мальчику не может быть 15 лет. Ему также не может быть 5 лет, поскольку 5 лет той девочке, которая ходит в детсад. Сумма лет Тани и Светы делится на 3, значит, нужно выявить кратность сумм:
5 + 8 = 13. Не подходит.
5 + 13 = 18. Подходит.
5 + 15 = 20. Не подходит.
8 + 13 = 21. Подходит.
8 + 15 = 23. Не подходит.
13 + 15 = 28. Не подходит.
Сравним 2 подходящие суммы и выясним, что вариант 8 + 13 нам не нужен, поскольку Юре может быть, как 8, так и 13 лет. Остаётся вариант 5 + 13.
Если Таня старше Юры, значит, ей 13 лет. Юре 8, а Свете 5. Соответственно, Лене 15 лет.

10 урок

...
6. а) В роще 240 берёз, а клёнов на 93 меньше. Сосен в ней вдвое больше, чем клёнов, а елей — в 3 раза меньше, чем сосен и берёз вместе. Сколько всего деревьев в этой роще?
Находим, сколько клёнов в роще
240 – 93 = 147 кл.
Ищем, сколько сосен в роще
147 х 2 = 294 сос.
Определим, сколько в роще елей
(240 + 294):3 = 178 ел.
Всего деревьев в роще
240 + 147 + 294 + 178 = 859 дер.
...
6. б) Из леса принесли 38 грибов: белых, подосиновиков и подберёзовиков. Подберёзовиков было в 4 раза больше, чем белых, а подберёзовиков и подосиновиков вместе было 34 гриба. Сколько грибов каждого вида принесли из леса?
Найдём, сколько принесли из леса белых грибов
38 – 34 = 4 бел.
Ищем, сколько подберёзовиков
4 х 4 = 16 подб.
Находим, сколько было подосиновиков
34 – 16 = 18 подос.
…
7. При делении на 96 оказалось, что частное равно 325, а остаток равен 37. Какое число делили?
Пойдём от обратного:
325 х 96 + 37 = 31237
…
15. Замени буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным – разные).
КОШКА
+КОШКА
КОШКА
————
СОБАКА
У задачи два решения. Найди их.
57350 + 57350 + 57350 = 172050
56350 + 56350 + 56350 = 169050
Кстати, в некоторых учебниках встречается вот такое условие данной задачи:
«Веселый клоун Нибумбум
Сегодня мрачен и угрюм.
Что огорчает Нибумбума?
Пример решал он восемь раз,
И каждый раз другая сумма!
Печальный случай! (А у вас?)
При решеньи не забудьте
(В том-то вся и тонкость смысла!):
Одинаковые буквы – одинаковые цифры!»
Решение то же (смотрите выше).

11 урок

...
3. а) 57 яблок разложили на кучки по 6 яблок в каждой. Сколько получилось кучек и сколько яблок осталось?
57:6=9 (ост.3). Получилось 9 кучек и 3 яблока осталось.
…
3. б) Когда сливы разложили на 36 тарелок по 12 слив в каждой, осталось ещё 7 слив. Сколько было слив?
36х12+7=439. Было 439 слив.
…
3. в) Было 120 конфет. После того как каждому ученику раздали по 4 конфеты, осталось 12 конфет. Сколько было учеников?
(120-12):4=27. Было 27 учеников.
…
6. а) С 6 грядок одного огорода собрали 504 огурца, а с 8 грядок другого огорода — 336 огурцов. С грядки какого из этих огородов собрали огурцов больше и на сколько, если на грядках каждого из этих огородов огурцов было поровну?
Найдём, сколько огурцов собрали с одной грядки одного огорода
504:6=84 огур.
Найдём, сколько огурцов собрали с одной грядки другого огорода
336:8=42 огур.
Ищем, на сколько больше собрали огурцов с каждой грядки первого огорода
84-42=42 огур.
…
6. б) Один прямоугольник имеет ширину 6 дм, а площадь 504 кв.дм. Второй прямоугольник имеет ширину 8 дм, а площадь 336 кв.дм. У какого прямоугольника больше длина и на сколько?
Определяем длину первого прямоугольника
504:6=84 дм
Определяем длину второго прямоугольника
336:8=42 дм
Находим, на сколько длина первого прямоугольника больше
84-42=42 дм
…
6. в) Мастер за 6 часов сделал 504 детали, а его ученик за 8 ч сделал 336 деталей. У кого из них производительность больше и на сколько?
Ищем, сколько деталей сделал мастер за 1 час
504:6=84 дет.
Ищем, сколько деталей сделал за 1 час его ученик
336:8=42 дет.
Находим, на сколько производительность мастера в час больше
84-42=42 дет.
Три последние задачи с одинаковыми числовыми данными, но разными величинами.
…
7. а) Тамара спросила Сашу: «Сколько тебе лет?» Саша ответил: «Если бы число моих лет увеличить в 3 раза, а потом уменьшить на 16, то мне было бы 17 лет». Сколько лет Саше?
Пойдём от обратного:
17+16=33
33:3=11 лет
…
7. б) Если число лет Кати увеличить сначала на 19, а потом в 2 раза, затем полученный результат уменьшить на 10 и разделить на 11, то будет 4. Сколько лет Кате?
Пойдём от обратного:
4х11=44
44+10=54
54:2=27
27-19=8 лет.
…
9. На луче отмечены некоторые числа. Запиши такое двойное неравенство, чтобы:
а) каждое отмеченное число было его решением 6 < X < 33
б) каждое отмеченное число, кроме наименьшего, было его решением 15 <= X <=32
в) каждое отмеченное число, кроме наибольшего, было его решением 7 <= X <32
г) каждое отмеченное число, кроме наибольшего и наименьшего, было его решением 7 < X < 32
д) ни одно из отмеченных чисел не было его решением 7 > X > 32
…
12. Задача очень непроста —
Найти не каждый сможет:
Чему равняется звезда.
Велосипед и ёжик?
(Фигуры обозначают цифры, отличающиеся от указанных на рисунке, при этом разные фигуры обозначают разные цифры, а одинаковые – одинаковые).

527+324+652=1503

12 урок

...
5. У Марины сегодня день рождения. Она младше своего родного брата, которому неделю назад исполнилось 8 лет. Сколько лет может быть Марине? Составь неравенство и укажи множество его решений.
Поскольку Марина младше своего родного брата, то ей может быть любое количество лет менее восьми.
Неравенство Х < 8
Множество решений X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
...
7. Летели галки и сели на палки. Палок было 5. Если галки сядут по одной на каждую палку, то некоторым галкам не хватит места, а если они сядут по две на каждую палку, то некоторые палки останутся свободными. Сколько было галок?
Мы не знаем, сколько было галок, значит, примем их за «Х». Исходя из условия, определимся с пределами значений. Для этого составим неравенство.
5 < X < 10
Зная, что галки могут садиться по две, можно предположить, что галок чётное число. Значит, галок было, либо 6, либо 8.
...
9. а) Мотоциклист проехал до озера 126 км, а затем ещё 84 км. На весь путь он затратил 5 часов. Сколько времени мотоциклист ехал до озера и сколько потом, если его скорость в пути не изменялась?
Определим скорость мотоциклиста на всём протяжении пути
(126+84):5=42 км/ч
Найдём, сколько часов он ехал до озера
126:42=3 ч
Найдём, сколько часов он ехал потом
5-3=2 ч
...
9. б) В одной книге 126 страниц, а в другой — 84 страницы. Толя прочитал обе книги за 5 часов. Сколько времени он читал каждую книгу, если скорость чтения его при этом не изменялась?
Определим скорость чтения книг Толей
(126+84):5=42 стр/ч
Найдём, сколько часов Толя читал первую книгу
126:42=3 ч
Найдём, сколько часов Толя читал вторую книгу
5-3=2 ч
Две последние задачи имеют одинаковые числовые значения и разные величины (первая задача на скорость, а вторая – на производительность).
...
10. Какие свойства 0 и 1 ты знаешь? Запиши их с помощью букв.
а+0=0+а=а
а-0=а
а-а=0
а*0=0*а=0
а*1=1*а=а
0:а=0
а:0 – нельзя
а:1=а
а:а=1
...
16. Продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность:
а) 101, 1 002, 10 003, 100 004, 1 000 005, 10 000 006. Числа увеличиваются в 10 раз и на единицу.
б) 4, 9, 6, 18, 8, 27, 10, 36, 12, 45, 14, 54. Чётные числа увеличиваем на 2, а нечётные – на 9.

13 урок

7. Вычисли периметр и площадь многоугольника ABCDEF, если его стороны равны:
АВ = 16 дм
ВС = 15 дм
DE = 21 дм
EF = 9 дм
Эта задача решается двумя способами.
Первый способ подразумевает разбиение данного многоугольника на 2 прямоугольника: ABCD и DEFL. Ищем площадь прямоугольника ABCD.
15 х 16 = 240 кв. дм
Ищем площадь прямоугольника DEFL.
21 х 9 = 189 кв. дм
Теперь ищем площадь многоугольника ABCDEF.
240 + 189 = 429 кв. дм
Находим периметр многоугольника, состоящего из 2-х прямоугольников.
(16 х 2)+(15 + 21)х2 = 104 дм.
Второй способ подразумевает построение из данного многоугольника целого прямоугольника.
Находим площадь последнего.
16х(15 + 21)=576 кв. дм
Определяем площадь достроенной части
21х(16-9)= 147 кв. дм
Теперь можно найти и площадь многоугольника ABCDEF.
576 – 147 = 429 кв. дм
Периметр ищем, как в предыдущем способе.
...
10. Найди сумму всех возможных двузначных чисел, все цифры которых нечётные.
Для начала напишем все нечётные двузначные числа:
11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, 35, 37, 39, 51, 53, 55, 57, 59, 71, 73, 75, 77, 79, 91, 93, 95, 97, 99.
Надеюсь, ничего не пропустила.
Для удобства сложения запишем пример так:
(11+99) + (13+97) + (15+95) + (17+93) + (19+91) + (31+79) + (33+77) + (35+75) + (37+73) + (39+71) + (51+59) + (53+57) + 55 = 110 х 12 + 55 = 1375

14 урок

...
3. а)В двух пачках 160 тетрадей, причём в одной из них на 20 тетрадей больше, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке?
Находим, сколько тетрадей в первой пачке:
(160-20):2= 70 тетр.
Находим, сколько тетрадей во второй пачке:
70+20= 90 тетр.
...
3. б) В двух пачках 160 тетрадей, причём в одной из них в 3 раза больше тетрадей, чем в другой. Сколько тетрадей в каждой пачке?
В этой задаче мы сравниваем две пачки по их, так сказать, «весу». В одной пачке – 1 часть тетрадей, а в другой – 3 части. Поэтому выражение для нахождения количества тетрадей в первой пачке будет выглядеть так:
160 : (3+1) = 40 тетр.
Во второй пачке тетрадей будет:
40х3= 120 тетр.
...
4. а) Картина с рамой стоит 13 200 руб., причём картина в 10 раз дороже рамы. Сколько стоит картина и сколько стоит рама?
Посмотрите предыдущую задачу, так как эта решается аналогично. Рама будет стоить:
13 200 : (10+1) = 1 200 руб.
Соответственно, картина стоит:
13 200 – 1 200 = 12 000 руб.
...
4. б) Стакан с подстаканником стоит 280 руб., причём стакан в 6 раз дешевле подстаканника. Сколько стоит стакан и сколько подстаканник?
Опять же смотрим предыдущую задачу. Подстаканник будет стоить 280 : (6+1) = 40 руб., а стакан 280 – 40 = 240 руб.
...
6. Фанерный ящик для посылки имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 40 см, 25 см и 20 см. Его перевязывают шпагатом, как показано на рисунке. Сколько сантиметров шпагата понадобится для того, чтобы перевязать ящик, если на узел и концы следует оставить 50 см?
Ищем длину шпагата по длине ящика:
(40+20)х2=120 см
Ищем длину шпагата по ширине ящика:
(25+20)х2=90 см
Общая длина шпагата:
120+90+50=260 см
...
8. Учитель задал на уроке замысловатую задачу. В результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным числу девочек, её не решивших. Кого в классе больше – решивших задачу или девочек?
Обозначим: мальчиков, решивших задачу – МРЗ; девочек, не решивших задачу – ДНЗ; девочек, решивших задачу – ДРЗ.
По условию МРЗ = ДНЗ
Девочек всего ДРЗ+ДНЗ. В этом выражении заменяем ДНЗ на МРЗ. Получаем:
Девочек всего ДРЗ+МРЗ.
Детей, решивших задачу, всего МРЗ+ДРЗ, то есть в классе равное количество детей, решивших задачу, и девочек.
...
9. Запиши ряд из 10 чисел, в котором первое число 1, второе – 2, а каждое следующее равно произведению двух предыдущих.
1, 2, 2 (поскольку 1х2), 4 (поскольку 2х2), 8 (поскольку 2х4), 32 (поскольку 4х8), 256 (поскольку 8х32), 8 192 (поскольку 32х256), 2 097 152 (поскольку 256х8192), 17 179 869 184 (поскольку 8192х2097152).

15 урок

...
3. Выполни действия:
А) 7ч 43 мин 12с : 16
Переведём данное выражение в секунды:
(7ч = 420 мин = 25200с) + (43мин = 2580с) + 12с, то есть 27 792 секунды.
Далее делим на 16:
27792:16=1737с или 28мин 57с
Б) 15ч 8мин 42с : 18
Переведём данное выражение в секунды:
(15ч = 900мин = 54000с) + (8мин = 480с) + 42с, то есть 54 522 секунды.
Далее делим на 18:
54522:18=3029с или 50мин 29с
...
6. а) Библиотеке нужно переплести 1800 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 3 дня, а вторая — за 6 дней. За сколько дней переплетут все книги обе мастерские, если будут работать одновременно? (Считать, что на переплёт каждой книги расходуется одинаковое время).
Найдём, сколько книг в день может переплести первая мастерская:
1800:3=600 кн/д
Найдём, сколько книг в день может переплести вторая мастерская:
1800:6=300 кн/д
Найдём общую производительность обеих мастерских:
600+300=900 кн/д
Ищем, сколько дней потребуется обеим мастерским:
1800:900=2 дня.
...
6. б) Требуется изготовить 1500 одинаковых деталей. Один станок может выполнить эту работу за 15 часов, а другой — за 10 часов. За сколько времени изготовят все детали оба станка, работая одновременно?
Найдём, сколько деталей в час может изготовить один станок:
1500:15=100 дет/ч
Найдём, сколько деталей в час может изготовить другой станок:
1500:10=150 дет/ч
Найдём общую производительность обоих станков:
100+150=250 дет/ч
Ищем, сколько времени потребуется обоим станкам:
1500:250=6 часов.
...
8. Алиса считала ступеньки лестницы. Между пятым и первым этажом она насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек между первым и вторым этажом, если их количество между всеми этажами одинаковое?
Между пятым и первым этажом 100 ступенек и 4 пролёта. Найдём, сколько ступенек в 1 пролёте:
100:4=25 ступенек. Соответственно, между первым и вторым этажом тоже 25 ступенек, ведь количество ступенек, по условию задачи, одинаковое.
...
9. Продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность:
а) 0, 36, 72, 108, 144, 180, 216 – числа увеличиваются на 36.
б) 5, 6, 8, 11, 15, 20, 26, 33, 41 – разность между числами с каждым разом увеличивается на 1.
в) 15, 14, 16, 13, 17, 12, 18, 11, 19 – первое число увеличивается на 1, а второе – уменьшается на 1.
г) 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511 – разность между рядом стоящими числами с каждым разом увеличивается в 2 раза.

16 урок

...
11. За первые 14 рабочих дней квартала завод изготовил 560 одинаковых стиральных машин, а затем стал изготовлять в день на 5 таких машин больше. Сколько машин выпустил завод за первые 20 дней квартала?
Найдём, сколько стиральных машин в день изготавливает завод:
560:14=40 маш/д
Затем найдём, сколько стиральных машин стал изготавливать завод в каждый последующий день:
40+5=45 маш/д
Теперь определим, сколько дней работал завод с новой производительностью:
20-14=6 дней
Подсчитаем, сколько стиральных машин изготовил завод за 6 дней:
45х6=270 маш.
Посчитаем, сколько стиральных машин изготовил завод за 20 дней:
560+270=830 маш.
...
12. Туристу надо было пройти 27 км. Ранним утром он шёл 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем следующие 2 ч со скоростью 4 км/ч, а остальной путь он прошёл за 3 ч. Чему была равна его скорость на последнем участке пути, если скорость его на этом участке не менялась?
Ищем, какой путь прошёл турист сначала:
2х5=10 км
Ищем, какой путь турист прошёл потом:
2х4=8 км
Найдём, сколько осталось пройти туристу:
27-10-8=9 км
Определим скорость, с которой шёл турист последние 3 часа:
9:3=3 км/ч
...
14. Математическое исследование. Представь число 10 всеми способами в виде суммы двух чисел и для каждого способа найди произведение слагаемых. Какое из произведений самое большое? Проделай то же самое с числом 12. Сформулируй гипотезу и проверь свою гипотезу для какого-нибудь другого числа.
Для числа 10:
Суммы:
О+10=10
1+9=10
2+8=10
3+7=10
4+6=10
5+5=10
6+4=10
7+3=10
8+2=10
9+1=10
10+0=10
Произведения:
0х10=0
1х9=9
2х8=16
3х7=21
4х6=24
5х5=25
6х4=24
7х3=21
8х2=16
9х1=9
10х0=0
Самое большое значение произведения получается при умножении равных слагаемых. Поскольку это наша гипотеза (другими словами, предположение), и мы вряд ли сможем проверить её на всех чётных числах, значит, утвердительно сказать, что она является верной для всех чётных чисел, мы не можем.
Для числа 12:
Суммы:
0+12=12
1+11=12
2+10=12
3+9=12
4+8=12
5+7=12
6+6=12
7+5=12
8+4=12
9+3=12
10+2=12
11+1=12
12+0=12
Произведения:
0х12=0
1х11=11
2х10=20
3х9=27
4х8=32
5х7=35
6х6=36
7х5=35
8х4=32
9х3=27
10х2=20
11х1=11
12х0=0

17 урок

...
2. Практическая работа.
а) Вырежь из клетчатой бумаги прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Чему равна его площадь в квадратных сантиметрах? В клеточках?
S=3х4=12 кв. см
S=6х8=48 клеточ.
б) Нарисуй на вырезанном прямоугольнике замкнутую кривую линию А. Можешь ли ты точно указать площадь фигуры, ограниченной линией А? Между какими числами заключена его площадь?
Площадь фигуры, ограниченной линией А, указать точно нельзя. Площадь данной фигуры заключена между числами 6 < S < 8.
...
3. Площадь закрашенного прямоугольника заключена между числами 12 и 15: 12 < S < 15. Найди, между какими числами заключены площади следующих фигур:
А) 8 < S < 10
Б) 8 < S < 10
В) 8 < S < 11
...
4. Сосчитай по рисунку число целых клеток, находящихся внутри фигуры А, и наименьшее число целых клеток, внутри которых расположена фигура А. Что можно сказать о площади этой фигуры? Запиши двойное неравенство.
Целых клеток, находящихся внутри фигуры А – 5.
Наименьшее число целых клеток, внутри которых расположена фигура А – 17.
Площадь фигуры А заключена между числами 5 и 17.
5 < S < 17
...
5. а) Раскрась синим карандашом все целые клетки, расположенные внутри линии В.
б) Обведи красным карандашом наименьшую фигуру из целых клеток, которая содержит линию В.
в)Запиши в виде двойного неравенства, между какими числами расположена площадь S фигуры В.


6. Выполни предыдущее задание для фигур M, N, K:
…
8. б) В пустые клетки квадрата запиши такие числа, чтобы квадрат стал магическим. Найди сумму всех вписанных чисел, и ты узнаешь, в каком году случилось описанное событие. В каком веке это было?
З95 131 59 371
179 251 323 203
275 155 227 299
107 419 347 83
Поскольку нам известны все числа по одной из диагоналей, то мы считаем их сумму:
395+251+227+83=956
Значит, сумма чисел в каждом из столбцов, в каждом ряду и в каждой из диагоналей должна быть равна 956. В этом и заключается магия квадрата.
Ищем сумму всех вписанных чисел:
131+323+203+155+299+107+347=1565
Значит, в 1565 году и произошло описанное событие.
…
10. Токарь вытачивает 72 одинаковые детали за 3 ч, а его ученику на выполнение этой работы требуется в 2 раза больше времени. За сколько часов они выточат 72 детали, работая вместе?
Найдём, сколько деталей в час вытачивает токарь:
72:3=24 дет/ч
Найдём, сколько деталей вытачивает ученик токаря:
72 : (3х2)=12 дет/ч
Определяем, за сколько часов они выточат 72 детали, работая вместе:
72 : (24+12)=2 часа.
…
13. По тропинке вдоль кустов
Шло одиннадцать хвостов.
Насчитать я также смог,
Что шагало тридцать ног.
Это вместе шли куда-то
Индюки и жеребята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было индюков?
Спросим также у ребят:
Сколько было жеребят?
Пусть жеребят шагало в количестве, обозначенном мною Х, тогда индюков будет (11-Х). Ног у жеребят будет (4Х), а у индюков ((11-Х)х2). А всего было 30 ног. Составляем уравнение:
4Х+(11-Х)х2=30
4Х+22-2Х=30
4Х-2Х=30-22
2Х=8
Х=8:2
Х=4
Значит, жеребят шагало 4, а индюков 11-4=7.
Это один из вариантов решения данной задачи. А можно и методом подбора её решить.
Если шагал 1 жеребёнок, то индюков с ним шагало 10 (находим так (11-1)). Тогда ног получится 24 (находим так (4+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=24)). Ответ неверный.
Если шагали 2 жеребёнка, то индюков шагало 9 (находим так (11-2)). Тогда ног получится 26 (находим так (4+4+2+2+2+2+2+2+2+2+2=26)). Ответ неверный.
Если шагало 3 жеребёнка, то индюков шагало 8. Находим, что ног получается 28 (4+4+4+2+2+2+2+2+2+2+2=28). Ответ неверный.
Если шагало 4 жеребёнка, то индюков шагало 7. Находим, что ног получается 30 (4+4+4+4+2+2+2+2+2+2+2=30). Ответ верный.
…
14. Расшифруй запись **+***=****, если известно, что оба слагаемых и сумма не изменяются, если прочитать их справа налево.
Это задание решалось мною долго и муторно, вам, читающим это решение, гораздо легче. Надо так подобрать два слагаемых (двузначное и трёхзначное) и их четырёхзначную сумму, чтобы и запись была верной, и слагаемые с суммой не менялись бы при чтении, как справа налево, так и слева направо(это я дополнила условие задачи, потому что оно явно некорректно сформулировано). Понятно, что при сложении двузначного и трёхзначного чисел получится четырёхзначное число. Двузначное число должно непременно записываться одинаковыми цифрами, а трёхзначное число должно начинаться и заканчиваться одинаковой цифрой. Подобрала такой вариант:
22+979=1001
Все числа читаются одинаково: и справа налево, и слева направо. Считаете иначе, пишите в комментариях, пожалуйста.

18 урок

1. На фигуры наложены палетки. Вычисли приближённо площади этих фигур, если площадь каждой клетки равна 1 кв. ед.
А)
a = 6; b = 18; S = 6+(18:2)=15 кв. ед. Площадь приближённо равна 15 квадратным единицам.
Б)
a = 9; b = 16; S = 9+(16:2)=17 кв. ед. Площадь приближённо равна 17 квадратным единицам.
В)
a = 6; b = 8; S = 6+(8:2)=10 кв. ед. Площадь приближённо равна 10 квадратным единицам.
Г)
a = 15; b = 10; S = 15+(10:2)=20 кв. ед. Площадь приближённо равна 20 квадратным единицам.
…
9. Автобус проехал расстояние 480 км за 8 ч. За сколько времени пройдёт это расстояние автомобиль, скорость которого на 36 км/ч больше скорости автобуса? С какой скоростью надо ехать, чтобы преодолеть это расстояние за 4 часа?
Находим, чему равна скорость автобуса:
480:8=60 км/ч
Находим, чему равна скорость автомобиля:
60+36=96 км/ч
Определим, за какое время автомобиль проедет 480 км:
480:96=5 ч
Найдём скорость автомобиля, с которой нужно ехать, чтобы преодолеть расстояние в 480 км за 4 часа:
480:4=120 км/ч
…
11. Для каждой фигуры на рисунке объясни, почему она может быть лишней:
А – прямоугольник, потому что у него все углы прямые.
В – треугольник, потому что у него 3 стороны и 3 угла, а у остальных фигур их по 4.
С – эта фигура лишняя, потому что у неё все стороны разной длины, а у остальных фигур имеются хотя бы 2 стороны с одинаковой длиной.
D – эта фигура лишняя, потому что у неё нет ни одного прямого угла, а у остальных имеется хотя бы 1 прямой угол.

19 урок

...
2. Докажи, что ответы следующих задач нельзя выразить натуральными числами.
А) Одну конфету разделили поровну между 2 детьми. Сколько конфет получил каждый?
Разделив конфету на 2 части, получим 2 половины, одну из которых получит каждый ребёнок. Записать результат натуральными числами не получится, поскольку нет натурального числа больше 0, но меньше 1.
Б) Литр сока разлили поровну в 4 стакана. Сколько литров сока в каждом стакане?
При разливе 1 л сока в 4 стакана получаем, что в каждом стакане будет четверть литра. Поэтому записать ответ с помощью натурального числа не удастся.
В) 7 кг крупы рассыпали поровну в 3 пакета. Сколько килограммов крупы в каждом пакете?
Указанное количество крупы при рассыпании в 3 пакета даёт 2 кг в каждом из них и остаток – треть килограмма. Как понимаете, записать результат с помощью натуральных чисел опять не получится.
…
3. б) Раздели квадрат на 2 равные части четырьмя различными способами.

…
3. в) Есть мешочек крупы и весы без гирь. Сколько крупы должно быть на каждой чашке весов, чтобы весы находились в равновесии?
На каждой чашке весов надо расположить половину мешочка крупы.
…
5. Раздели прямоугольники на 3 равные части разными способами. Раскрась на каждом из них третью часть цветным карандашом. Равны ли эти части по площади? Докажи.

Все три части равны по площади, поскольку площадь каждой части равна 6 клеточкам.
…
8. В школьном саду на клумбах посадили 900 цветов, причём 630 из них были тюльпаны, а остальные розы. На клумбы с тюльпанами посадили по 35 цветов на каждую клумбу, а на клумбы с розами – по 30 цветов. Сколько всего получилось клумб?
Найдём, сколько было роз:
900-630=270 роз
Посчитаем, сколько было клумб с тюльпанами:
630:35=18 клумб
Посчитаем, сколько получилось клумб с розами:
270:30=9 клумб
Находим, сколько всего получилось клумб:
18+9=27 клумб.
…
12. Перед мастером 5 звеньев цепи. Их надо соединить в одну цепь, не употребляя дополнительных колец. Какое наименьшее число колец надо мастеру для этого расковать, а потом опять заковать?
Предположим, что перед нами цепь из 5 звеньев. Второе кольцо соединяет 1 и 3 кольца, 4 кольцо соединяет 3 и 5 кольцо. Значит, надо расковать, а затем снова заковать 2 кольца.

20 урок

1. В произведении знаменитого римского поэта I века до н.э. Горация так описана беседа учителя с учеником в одной из римских школ этой эпохи:
Учитель. Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию?
Ученик. Одна треть.
Учитель. Правильно. Ты сумеешь беречь своё имущество.
Пользуясь схемой, докажи, что ученик был прав.
Если от 5 унций отнять 1 унцию, то получается 4 унции. Из приведённой в учебнике схемы видно, что в 12 унциях 3 раза по 4 унции, значит, ученик был прав.
…
2. Задача из «Арифметики» известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н.э.)
«Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10».
Мы знаем, что от числа сначала отнимали треть, затем четверть, то есть двенадцатую часть:
3х4=12
Число 10 – это ни что иное, как:
12-(3+4)=5, то есть пятая часть того числа, которое мы ищем.
Найдём одну двенадцатую (1/12):
10:5=2
Значит, загаданное число – это число 24:
12х2=24
…
3. Задача из «Папируса Ахмеса» (Египет, 1850 г.до н.э.)
«Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
- Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?
Пастух отвечает:
- Я привожу две трети от трети скота. Сочти!»
Используя схему, найди, сколько быков было во всём стаде?
Исходя из схемы, мы знаем, что 70 быков – это 2 трети от одной трети. Нужно узнать, чему будет равна треть трети:
70:2=35 быков.
Теперь можем узнать, сколько быков составят одну треть всего стада:
35х3=105 быков.
Находим, сколько быков было во всём стаде:
105х3=315 быков.
…
4. Староиндийская задача математика Сриддхары (XI век н.э.)
Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчёлок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Её трижды сложи
И тех пчел на кутай посади,
Только две не нашли
Себе место нигде,
Всё летали то взад, то вперёд и везде
Ароматом цветов наслаждались.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчёлок всего здесь собралось?

Дорисовываем схему, приведённую в учебнике, и видим, что одна часть равна двум, а всего получается 15 частей. А пчёлок собралось здесь всего 30:
2х15=30 пчёл.
…
5. Задача армянского учёного Анания Ширакаци (VII век н.э.)
«Один купец прошёл через 3 города, и взыскивали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что осталось), и в третьем городе половину и треть (с того, что осталось). Когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков (денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего денежков было вначале у купца?»
Рассматривая схему в учебнике внимательно, можно сделать вывод, что шестая часть последнего остатка равняется 11 денежкам.
Ищем количество денежков, оставшихся после выхода из 2 города:
11х6=66 ден., то есть одна треть половины остатка или шестая часть этого же остатка при выходе из первого города. Соответственно, ищем его, этот остаток:
(66х3)х2=396 ден., то есть, это шестая часть имущества.
Теперь найдём, сколько всего денежков было вначале у купца:
396х6=2376 ден.

21 урок

1. Дыню разделили поровну между 4 детьми. Какую часть дыни получил каждый?
Каждый ребёнок получил одну четвёртую часть дыни (запись ¼).
…
6. Как называется а) одна тысячная доля тонны; б) одна десятая метра; в) одна двадцать четвёртая доля суток; г) одна шестидесятая доля часа; д) одна тысячная доля килограмма?
А) 1/1000 т = 1 кг
Б) 1/10 м = 1 дм
В) 1/24 сут. = 1 ч
Г) 1/60 ч = 1 мин.
Д) 1/1000 кг = 1 г
…
7. Вырази в метрах: 1 дм, 1 см, 1 мм.
1 дм = 1/10 м
1 см = 1/100 м
1 мм = 1/1000 м
Вырази в километрах: 1 м, 1 дм, 1 см.
1 м = 1/1000 км
1 дм = 1/10000 км
1 см = 1/100000км
Вырази в тоннах: 1 ц, 1 кг, 1 г.
1 ц = 1/10 т
1 кг = 1/1000 т
1 г = 1/1000000 т
Вырази в часах: 1 мин, 1 с.
1 мин = 1/60 ч
1 с = 1/3600 ч
Вырази в квадратных метрах: 1 кв. дм, 1 кв. см.
1 кв. дм = 1/100 кв. м
1 кв. см = 1/10000 кв. м
Вырази в кубических метрах: 1 куб. дм, 1 куб. см.
1 куб. дм = 1/1000 куб. м
1 куб. см = 1/1000000 куб. м
…
13. Илья продолжил стороны треугольника и на каждой из трёх образовавшихся прямых отметил по 2 точки. Всего он отметил 4 точки. Как он это сделал?
Я не стала заморачиваться на этот счёт. Поставила 2 из 4 точек на вершины треугольника, а остальные 2 точки просто нарисовала на 2-х оставшихся прямых.

22 урок

...
6. Как называется: а) одна шестидесятая доля минуты; б) одна сотая доля дециметра; в) одна десятая доля тонны; г) одна сотая доля метра?
1/60 мин = 1 с
1/100 дм = 1 мм
1/10 т = 100 ц
1/100 м = 1 см
…
13. а) Пусть А – множество решений неравенства 4 < = X < 8, а В – множество решений неравенства 5 < X <= 9. Запиши множества А и В с помощью скобок, найди их объединение и пересечение.
А = {4, 5, 6, 7}, В = {6, 7, 8, 9}
А ∩ В {6; 7} (пересечение множеств)
А U В {4; 5; 6; 7; 8; 9} (объединение множеств)
...
13. б) Найди объединение и пересечение множеств решений 3 <= X < 7 и X >=5.
Пусть С – множество решений неравенства 3 < = X < 7, значит, С = {3, 4, 5, 6}.
Пусть Е – множество решений неравенства X >=5, значит, Е = {5, 6, 7, 8, 9, …}.
С ∩ Е {5; 6} (пересечение множеств)
С U Е {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; …} (объединение множеств)
…
16. В словах НОЗИБ, ФЕЛЕТОН, АБРЕЗ, ГРИТ переставь буквы так, чтобы получились слова русского языка. Какое слово могло бы быть лишним? Придумай несколько вариантов решения.
Бизон, телефон, зебра, тигр.
Лишним может быть слово «телефон», поскольку остальные – это названия зверей.
У вас есть ещё варианты? Сообщите их мне в комментариях, пожалуйста.

23 урок

...
2. Вырази в минутах: а) половину часа; б) треть часа; в) четверть часа; г) 1/6 долю часа; д) 1/5 долю часа; е) 1/10 долю часа; ж) 1/15 долю часа; з) ½ долю часа.
А) ½ ч = 30 мин.
Б) 1/3 ч = 20 мин.
В) ¼ ч = 15 мин.
Г) 1/6 ч = 10 мин.
Д) 1/5 ч = 12 мин.
Е) 1/10 ч = 6 мин.
Ж) 1/15 ч = 4 мин.
З) ½ ч = 30 мин.
…
4. Найди:
А) 1/9 от 45 м
45:9=5 м
Б) 1/7 от 84 кг
84:7=12 кг
В) 1/5 от 70 ц
70:5=14 ц
Г) 1/8 от 96 км
96:8=12 км
…
5. Купили кусок ткани длиной 2м 50см и из 1/5 этого куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на это платье? Сколько ткани ещё осталось?
Отвечаем на первый вопрос задачи:
2м 50см = 250 см
250:5=50 см
Отвечаем на второй вопрос задачи:
250-50=200 см
200 см= 2 м
…
6. Отметь на числовом луче доли: 1/15, 1/5, 1/3.
Первое деление справа от 0 – это 1/15.
Третье деление справа от 0 – это 1/5.
Пятое деление справа от 0 – это 1/3.

24 урок

...
2. Найди 1% от:
А) 500 г = 500х1%:100%=5 г
Б) 8000 км = 8000х1%:100%=80 км
В) 42000 руб. = 42000х1%:100%=420 руб.
Г) 7300 л = 7300х1%:100%=73 л
Д) 1 т = 1000 кг. А 1% от 1000 кг – это 1000х1%:100%=10 кг
Е) 3 ц = 300 кг. А 1% от 300 кг – это 300х1%:100%=3 кг
…
3. Папа получил премию 12000 руб., 1% которой он потратил на покупку торта. Сколько стоил торт?
12000х1%:100%=120 руб.
В комнате у дедушки в полдень бьют часы. Продолжительность боя составляет один процент от одного часа. Сколько секунд продолжается бой часов?
1 ч = 60 мин. = 3600 с
3600х1%:100%=36 с
…
4. Найди 1% от чисел: 600, 8500, 90000, 720000, 1000000.
600х1%:100%=6
8500х1%:100%=85
90000х1%:100%=900
720000х1%:100%=7200
1000000х1%:100%%=10000
…
5. От дыни массой 2кг 400г Ване отрезали 1/5 дыни и Маше отрезали 1/6 дыни. Чему равна масса каждого отрезанного куска? Сколько граммов дыни ещё осталось?
Ищем, сколько Ване отрезали дыни:
2400:5=480 г
Ищем, сколько Маше отрезали дыни:
2400:6=400 г
Находим, сколько всего отрезали дыни:
480+400=880 г
Определяем, сколько дыни ещё осталось:
2400-880=1520 г или 1кг 520г.
…
10. Пять товарищей спускались с горы на санках. Игорь проехал дальше Романа, но ближе, чем Олег. Костя проехал меньше, чем Роман, а Илья – дальше Олега. Кто из ребят проехал дальше всех, а кто – меньше всех?
Костя проехал меньше всех, а Илья – дальше всех.
Последовательность такова: Костя, Роман, Игорь, Олег, Илья.

25 урок

...
2. Найди весь пройденный путь, если 400 м составляют:
А) половину этого пути. 400х2=800 м
Б) 1/5 пути. 400х5=2000 м = 2 км
В) 1/3 пути. 400х3=1200 м = 1км 200м
Г) 1% пути. 400х100=40000 м = 40 км
…
4. Найди массу яблок, если известно, что:
А) 1/7 этой массы составляет 8 кг
8х7=56 кг
Б)1% массы составляет 2 кг
2х100=200 кг
В) 1/3 массы составляет 15 кг
15х3=45 кг
Г) 1% массы составляет 400 г
400х100=40000 г = 40 кг
…
5. Мотоциклист за день проехал некоторое расстояние. 1% пути он ехал по просёлочной дороге, что составило 3 км. Остальную часть пути он ехал по шоссе. Сколько километров ехал мотоциклист по шоссе?
Примем весь путь мотоциклиста за 100%. Зная, что 1% – это 3 км (путь по просёлочной дороге), найдём длину всего пути:
3х100%:1%=300 км
Находим теперь, сколько километров мотоциклист проехал по шоссе:
300-3=297 км
…
6. Единица разделена на 24 равные части. Сколько таких частей содержит 1/24, 1/12, 1/8, 1/6, ¼, 1/3, ½ доля? Отметь эти числа на числовом луче.
1/24 содержит одну двадцать четвёртую часть
1/12 содержит две двадцать четвёртые части
1/8 содержит три двадцать четвёртые части
1/6 содержит четыре двадцать четвёртые части
¼ содержит шесть двадцать четвёртых частей
1/3 содержит восемь двадцать четвёртых частей
½ содержит двенадцать двадцать четвёртых частей.
Отметим числа на числовом луче.
Первое деление справа от 0 – это 1/24
Второе деление справа от 0 – это 1/12
Третье деление справа от 0 – это 1/8
Четвёртое деление справа от 0 – это 1/6
Шестое деление справа от 0 – это ¼
Восьмое деление справа от 0 – это 1/3
Двенадцатое деление справа от 0 – это ½
…
7. Расположи доли в порядке возрастания: 1/9, 1/5, 1/75, 1%, 1/120.
1/120, 1%, 1/75, 1/9, 1/5
…
8. Прочитай неравенство и найди множество его натуральных решений:
А) 1/8 < = 1/x < ¼. {5, 6, 7, 8}
Б) 1/12 < 1/y <=1/7 {7, 8, 9, 10, 11}
...
10. На одной планете живут 40 колиордов. 12 из них вечером пьют чай, 28 – смотрят телевизор, а 5 не делают ни того ни другого, так как рано ложатся спать. Сколько колиордов пьют по вечерам чай, смотря телевизор?
Давайте вначале найдём, сколько колиордов (это ж надо, какое название придумали!) по вечерам пьют чай или смотрят телевизор, исключая тех пятерых, которые ничего не делают:
40-5=35 кол.
Было бы просто, если б одни колиорды только пили чай, а другие колиорды только смотрели телевизор. Тогда получилось бы, что на планете (не учитывая 5 сонь) проживают 12+28=40 колиордов. Но у нас-то получилось 35 колиордов.
Значит, 40-35=5 – количество колиордов, которые пьют чай, смотря телевизор.
Можно рассудить по-другому: 35-28=7 – количество колиордов, которые не смотрят телевизор, но пьют чай. По условию известно, что чай пьют 12 колиордов, значит, 7 из них не смотрят телевизор, а 5 остальных смотрят.

26 урок

...
5. Прочитай число 32 075 206 000. Сколько единиц в разряде десятков миллионов этого числа? Сколько всего десятков миллионов в этом числе? Назови предыдущее и последующее числа.
Сколько единиц в разряде десятков миллионов этого числа – 7 единиц.
Сколько всего десятков миллионов в этом числе – 3207 десятков.
Предыдущее число – 32 075 205 999
Последующее число – 32 075 206 001
...
9. Отметь на числовом луче дроби 1/18, 1/9, 1/6, 1/3, ½. Сколько клеточек должно быть в единичном отрезке, чтобы удобно было выполнить построение?
В единичном отрезке должно быть 18 клеточек, так как целое поделили на 18 одинаковых частей, ведь минимальное значение – это дробь 1/18.
Отметим дроби на числовом луче.
Первое деление справа от 0 – это 1/18
Второе деление справа от 0 – это 1/9
Третье деление справа от 0 – это 1/6
Шестое деление справа от 0 – это 1/3
Девятое деление справа от 0 – это ½
...
11. Длина круговой дорожки для бега 400 м. За 6 мин 40 с Андрей пробежал 4 круга, а Николай – 5 кругов. На сколько метров в секунду скорость Николая больше скорости Андрея?
Переведём сначала 6 мин 40 с в секунды:
6х60+40=400 с
Определим, сколько же метров пробежал Андрей:
400х4=1600 м
Узнаем, с какой скоростью бежал Андрей:
1600:400=4 м/с
Определим теперь, сколько метров пробежал Николай:
400х5=2000 м
И узнаем, с какой скоростью пришлось бежать Николаю:
2000:400=5 м/с
На сколько метров в секунду скорость Николая больше скорости Андрея:
5-4=1 м/с
...
12. За 4 мин бревно распилили на полуметровые поленья. Каждый распил занимал 1 мин. Какой длины было бревно?
Узнаем, сколько сделали распилов:
4 мин: 1 мин = 4 распила
Получается 5 поленьев. Зная, что 1 полено = полметра (иначе 50 см), узнаем длину всего бревна:
50х5=250 см или 2м 50см

27 урок

...
10. Петя готовил уроки 2 ч. На математику он потратил 1/3 этого времени, а на географию – ¼ оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько – по географии?
Переведём часы в минуты:
2ч = 2х60=120 мин
Узнаем, сколько времени Петя делал математику:
120:3=40 мин.
Осталось у него времени:
120-40=80 мин.
Узнаем, сколько Петя делал географию:
80:4=20 мин.
...
12. Найди закономерность и вставь пропущенную букву и пропущенное число:
2/Б, Д/5, 8/Ж, Й/11.
Объясняю: числа указывают на порядковый номер буквы в алфавите. Из условия видно, что эти номера увеличиваются на 3. Значит, неизвестное число будет 11 – это порядковый номер буквы Й.
Обратите внимание, что буквы и цифры чередуются, как будто в шахматном порядке, поэтому буква Й разместится сверху, а число 11 – снизу.

28 урок

...
2. Расшифруй названия театральных представлений, сопоставив дроби соответствующим буквам и расположив их: а) в порядке возрастания: ТРАГЕДИЯ (дроби писать не буду); б) в порядке убывания: КОМЕДИЯ.
Как записывают части величин, выраженные дробями со знаменателем 100? В виде процентов: 3%, 87% и т.д.
...
4. Расшифруй имена богинь – покровительниц комедии и трагедии в греческой мифологии, сопоставив дроби соответствующим буквам и расположив их: а) в порядке возрастания: ТАЛИЯ; б) в порядке убывания: МЕЛЬПОМЕНА.
...
10. У Алёши было 540 руб. Он купил машинку, книгу и 3 диска с компьютерными играми. Машинка стоила 90 руб., книга на 20 руб. дороже машинки, а цена каждого диска в 2 раза меньше, чем цена машинки и книги, вместе взятых. На оставшиеся деньги Алёша решил купить мороженое по цене 20 руб. Сколько порций мороженого он может купить?
Определим, сколько стоит книга:
90+20=110 руб.
Определим, сколько стоит 1 диск:
(110+90):2=100 руб.
Найдём, сколько стоят 3 диска:
100х3=300 руб.
Выясним, сколько денег осталось у Алёши после всех этих покупок:
540-90-110-300=40 руб.
Сколько порций мороженого сможет купить Алёша, если одна стоит 20 руб.:
40:20=2 порции.
...
12. Какие из высказываний верны, а какие – нет?
а) Сумма двух натуральных чисел есть число натуральное. Верно.
б) Разность двух натуральных чисел есть число натуральное. Неверно, поскольку разность не всегда число натуральное (уменьшаемое бывает меньше вычитаемого).
в) Произведение двух натуральных чисел есть число натуральное. Верно.
г) Частное двух натуральных чисел есть число натуральное. Неверно, поскольку частное может быть числом с остатком.
...
13. Составь слова и исключи лишнее слово: РАЧУК, ЕЛМ, ОВГУРКИЗ, ШААНДАКР.
Ручка, мел, грузовик, карандаш. Лишним словом здесь может быть слово «грузовик», поскольку всеми остальными предметами можно писать.
Слово «мел» тоже может быть лишним словом, так как в нём нет буквы «р», как во всех остальных словах.
Слово «ручка» тоже может быть лишним, так как оно одно здесь женского рода, а все остальные слова – мужского.

29 урок

...
14. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 100. Найди уменьшаемое.
Формула нахождения разности такова: а – в = с, где а – уменьшаемое, в – вычитаемое, с – разность. В данной задаче а+в+с=100. И, если а – это уменьшаемое, то оно должно быть равно сумме вычитаемого и разности, то есть а = в+с. Значит, а+а=100. Уменьшаемое а = 50.

30 урок

...
9. а) Максим задумал число, вычел его из 740 и полученную разность умножил на 57. В результате у него получилось 40 185. Какое число задумал Максим?
Можно составить уравнение, где х – задуманное Максимом число:
(740-х)х57=40185
740-х=40185:57
740-х=705
Х=740-705
Х=35
А можно просто пойти от обратного:
40185:57=705
740-705=35
...
9. б) Аня задумала число, прибавила его к числу 789 и полученную сумму разделила на 8. В результате у неё получилось 4005. Какое число задумала Аня?
Можно составить уравнение, где х – задуманное Аней число:
(789+х):8=4005
789+х=4005х8
789+х=32040
Х=32040-789
Х=31251
А можно просто пойти от обратного:
4005х8=32040
32040-789=31251
...
14. а) Гена (Эдуард Успенский «Крокодил Гена и его друзья»)
б) Нильс (Сельма Лагерлёф «Чудесное путешествие Нильса с дикими гусями»)
в) Пьеро (Алексей Николаевич Толстой «Золотой ключик, или приключения Буратино»)
г) Золушка (братья Гримм «Золушка»)

31 урок

...

32 урок

...